二进制数制：位值、表示范围与实例

二进制数制是一种以二的幂为基础的位值制。每个位置都有固定权重，每个数字则说明该权重是否计入数值。掌握这条规则后，任何二进制整数的结构都可以逐位解释。

本文集中讲解位值、计数、位宽和数值范围。如果希望先了解计算机为什么使用两种状态，可以阅读什么是二进制？；如果只需要转换结果，可以直接使用二进制转十进制工具或十进制转二进制工具。

二进制数制的位值

位值制会根据数字所在的位置分配权重。十进制位置使用十的幂，二进制数制使用二的幂：

一个二进制数字只能是 0 或 1。1 表示计入当前位置的位值，0 表示不计入。因此，二进制数 101101 表示：

1×32 + 0×16 + 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1
= 32 + 8 + 4 + 1
= 45

最左侧的 1 并不是天然比其他 1 更大，而是因为它位于 2⁵ 位置。将某一位向左移动一格，其权重就会翻倍。

从最右侧数字开始，把位置依次标为 0、1、2。将每个位置转换为二的幂，保留数字为 1 的位值，再把它们相加。

以 11001010 为例：

数位	1	1	0	0	1	0	1	0
权重	128	64	32	16	8	4	2	1
计入数值	128	64	0	0	8	0	2	0

计入的位值之和为 202。写成 11001010₂ = 202₁₀ 可以明确标出基数，避免把二进制数字串误认为十进制数。你也可以用二进制转十进制工具核对，它会列出每个位置对结果的贡献。

二进制计数和十进制使用相同的进位思想。十进制的一位数字用完 0 到 9 后，从 9 进位到 10；二进制只有两个符号，所以从 1 进位到 10。

给一个二进制数加一时，从右向左扫描，把末尾连续的 1 改为 0，直到遇到一个 0，再将该 0 改成 1。例如 10111 + 1 = 11000。这也是二进制加法中进位规则的基础。

一种手算方法是用非负十进制整数反复除以二，并记录每次余数，最后从下向上读取余数。

将 45 转换为二进制：

从下向上读取可得 101101，再按位值计算又会得到 45，可作为自检。对于很长的数值，十进制转二进制工具可以完成同样的转换，并避免精度损失。

另一种方法是逐次减去不超过目标数的最大二次幂。对于 45，先选择 32，剩 13；选择 8，剩 5；选择 4，剩 1；最后选择 1。被选中的位置写 1，未使用的位置写 0。

位宽表示可用的二进制位置数量。 $n$ 位可以形成 $2^n$ 种不同模式。无符号整数将所有模式用于零和正数，因此范围是 0 到 $2^n-1$ 。

最大的无符号模式始终全部由 1 构成。八位的 11111111 包含 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1，总和为 255。

前导零可以表达指定宽度，但不会改变数学值。101、0101 和 00000101 都等于十进制 5，后两种写法分别表明四位和八位格式。

一个位模式本身无法说明有符号解释，系统还必须定义位宽和表示方法。现代计算机通常采用二进制补码。

n 位补码整数的范围是负 2 的 n 减 1 次幂，到 2 的 n 减 1 次幂再减 1。因此，八位有符号整数范围是 -128 到 127。同一个模式在不同解释下可能代表不同值：11111111 作为无符号数是 255，作为八位补码则是 -1。

在 API、文件、寄存器和编程语言类型之间传递数据时，这项区别非常重要。描述字段时应同时记录位宽以及是否有符号。

二进制小数点右侧的位置使用二的负整数次幂：2⁻¹ 是二分之一，2⁻² 是四分之一，2⁻³ 是八分之一。

10.101₂
= 1×2¹ + 0×2⁰ + 1×2⁻¹ + 0×2⁻² + 1×2⁻³
= 2 + 0.5 + 0.125
= 2.625₁₀

有些十进制小数无法用有限个二进制小数位表示，就像三分之一在十进制中会无限循环。浮点格式只能保存有限近似值，因此软件中的简单小数运算有时也会出现舍入差异。

八进制和十六进制可以紧凑地表示二进制分组。一个八进制数字对应三位，因为 $2^3 = 8$ ；一个十六进制数字对应四位，因为 $2^4 = 16$ 。

二进制：    1101 0110
十六进制：     D    6

二进制：    011 010 110
八进制：      3   2   6

分组不会改变底层位模式，而且通常比先转换成十进制更快。使用二进制转十六进制工具或二进制转八进制工具，可以查看分组过程并核对结果。

把每条规则与二的幂联系起来，就能更容易地掌握二进制数制：

需要快速查数时，可以打开0 到 100 二进制表，比较各个数值、观察进位边界，并核对十进制、二进制、八进制和十六进制之间的关系。