Sistema binario: valores posicionales, rangos y ejemplos

El sistema binario es un sistema de numeración posicional basado en potencias de dos. Cada posición tiene un peso fijo y cada dígito indica si ese peso forma parte del valor. Esta regla sencilla explica la estructura de cualquier entero binario.

Esta guía se centra en los valores posicionales, el conteo, el ancho de bits y los rangos numéricos. Para una introducción más general sobre los dos estados que utilizan las computadoras, consulta ¿Qué es el binario?. Si solo necesitas convertir un valor, utiliza el conversor de binario a decimal o el conversor de decimal a binario.

Valores posicionales del sistema binario

En un sistema posicional, el peso de cada dígito depende del lugar que ocupa. Las posiciones decimales usan potencias de diez; el sistema binario usa potencias de dos:

Un dígito binario solo puede ser 0 o 1. El 1 incluye el valor de su posición y el 0 lo excluye. Por eso 101101 representa:

1×32 + 0×16 + 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1
= 32 + 8 + 4 + 1
= 45

El 1 situado más a la izquierda no vale más por sí mismo, sino porque ocupa la posición 2⁵. Si se desplaza un lugar hacia la izquierda, su peso se duplica.

Cómo leer números en el sistema binario

Empieza por el dígito de la derecha y numera las posiciones desde cero. Convierte cada posición en una potencia de dos, conserva los valores donde aparezca un 1 y súmalos.

Para 11001010:

Los valores incluidos suman 202. La notación 11001010₂ = 202₁₀ deja explícita la base y evita confundir una cadena binaria con un número decimal. Puedes comprobar cualquier ejemplo con la herramienta de binario a decimal, que también muestra la contribución de cada posición.

Cómo se cuenta en base 2

El conteo sigue la misma idea de acarreo que el decimal. El decimal pasa de 9 a 10 cuando agota sus símbolos de una cifra. El sistema binario pasa de 1 a 10 porque solo dispone de dos símbolos.

Al sumar uno, recorre el número de derecha a izquierda. Cambia los unos finales por ceros hasta encontrar un cero y conviértelo en uno. Por ejemplo, 10111 + 1 = 11000. Este comportamiento es la base de la suma binaria.

Convertir un decimal al sistema binario

Un método manual consiste en dividir repetidamente un entero decimal no negativo entre dos y anotar cada resto. Los restos se leen de abajo hacia arriba.

Para convertir 45:

La lectura ascendente produce 101101. Si se aplican de nuevo los valores posicionales, el resultado vuelve a ser 45. Para valores largos, el conversor de decimal a binario realiza el mismo proceso sin redondeos.

Otra posibilidad es restar la mayor potencia de dos que quepa en el valor. Para 45 se elige 32 y quedan 13; después 8 y quedan 5; luego 4 y queda 1; por último se selecciona 1. Las posiciones elegidas se escriben como 1 y las demás como 0.

Ancho de bits y rango sin signo

El ancho de bits indica cuántas posiciones binarias están disponibles. Con $n$ bits existen $2^n$ patrones. Un entero sin signo utiliza todos ellos para cero y valores positivos, por lo que su rango va de 0 a $2^n-1$.

El patrón sin signo más grande siempre contiene únicamente unos. En ocho bits, 11111111 suma 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1, es decir, 255.

Los ceros iniciales muestran un ancho determinado sin cambiar el valor. 101, 0101 y 00000101 equivalen a 5, aunque las dos últimas formas expresan formatos de cuatro y ocho bits.

Enteros binarios con signo

Un patrón de bits no define por sí solo su interpretación con signo. El sistema debe especificar tanto el ancho como la representación. Las computadoras modernas suelen usar complemento a dos.

Un entero de complemento a dos de n bits cubre desde menos 2 elevado a n menos 1 hasta 2 elevado a n menos 1, menos 1. Un entero con signo de ocho bits va, por tanto, de -128 a 127. El mismo patrón puede significar valores distintos: 11111111 es 255 sin signo, pero -1 en complemento a dos.

Esta distinción importa al mover valores entre API, archivos, registros y tipos de lenguajes de programación. Siempre debe indicarse el ancho y si el campo tiene signo.

Fracciones binarias

Las posiciones situadas a la derecha del punto binario utilizan potencias negativas de dos: 2⁻¹ es un medio, 2⁻² es un cuarto y 2⁻³ es un octavo.

10.101₂
= 1×2¹ + 0×2⁰ + 1×2⁻¹ + 0×2⁻² + 1×2⁻³
= 2 + 0,5 + 0,125
= 2,625₁₀

Algunas fracciones decimales no tienen una expansión binaria finita, igual que un tercio se repite en decimal. Los formatos de coma flotante almacenan una aproximación finita; por eso operaciones decimales aparentemente sencillas pueden mostrar diferencias de redondeo en software.

Relación entre binario, octal y hexadecimal

Octal y hexadecimal permiten agrupar los bits de forma compacta. Un dígito octal representa tres bits porque $2^3 = 8$. Un dígito hexadecimal representa cuatro bits porque $2^4 = 16$.

Binario:      1101 0110
Hexadecimal:    D    6

Binario:      011 010 110
Octal:          3   2   6

La agrupación conserva el patrón original y suele ser más rápida que convertir primero a decimal. Usa la herramienta de binario a hexadecimal o la herramienta de binario a octal para ver los grupos y verificar el resultado.

Errores frecuentes

• Leer los valores posicionales desde la izquierda en vez de comenzar con 2⁰ a la derecha.
• Interpretar una cadena como 1010 como decimal sin indicar su base.
• Creer que los ceros iniciales modifican el valor matemático.
• Llamar a un valor «con signo» sin indicar ancho y representación.
• Esperar que todas las fracciones decimales tengan una expansión binaria finita.
• Olvidar que un resultado puede desbordar un ancho fijo aunque el cálculo matemático sea válido.

Referencia rápida

El sistema binario resulta más sencillo cuando cada regla se relaciona con una potencia de dos:

1. Cada desplazamiento hacia la izquierda duplica el valor posicional.
2. Un 1 incluye el valor de una posición y un 0 lo excluye.
3. $n$ bits producen $2^n$ patrones distintos.
4. Un entero sin signo de $n$ bits cubre de 0 a $2^n-1$.
5. La interpretación con signo necesita un ancho y una representación.
6. Los grupos de tres y cuatro bits se corresponden con octal y hexadecimal.

Consulta la tabla binaria del 0 al 100 para comparar valores, detectar límites de acarreo y revisar conversiones entre decimal, binario, octal y hexadecimal.